유승현 서소영 2015-02 19328 https://aurora.ajou.ac.kr/handle/2018.oak/18606 학위논문(석사)--아주대학교 일반대학원 :기계공학과,2015. 2 본 연구에서는 탄성학 문제인 Misfitted Inclusion을 다루었다. Inclusion이 각각 Infinte/Finite 크기의 모체 내에서 하중을 받을 때 모체와 삽입물의 거동을 해석적 표현식으로 도출하였다. Infinite 크기의 모체 내부에 있는 경우 주어지는 경우 모체 및 삽입물의 탄성장을 Closed-Form 표현식으로 도출하였다. 표현식을 이용하여 주어지는 하중 조건과 불균질 및 모체 간 물성 배합에 따르는 내력 분포를 관찰하였으며 점결함과 동일하게 여겨지는 삽입물의 거동을 관찰하였다. 하중 조건과 결함 및 모체의 물성 관계를 통해 핵심 설계 인자를 제공하는 에너지 해방률 또한 해석적 표현식으로 도출하였다. 이를 통해 구 대칭 형상을 갖는 결함의 성장 원리를 설명하였다. 이방성질의 Finite 크기의 모체 내부에 삽입물이 있는 경우 탄성장을 구하 였다. 도출한 탄성장은 등축정계인 Zinc-Blende 결정질과 육방정계인 Wurtzite 결정질로 구성된 양자점 코어/쉘에 적용하였다. 이를 통해 최근 연구되어지는 독립 상태의 격자상수 불일치 상태인 양자점의 광학적 물성에 기여하는 변형 장을 구하였다. 등축정계는 압전 효과가 없는 재료로 광학적 물성을 구하는데 요구되는 양자역학 계산식인 해밀토니안 방정식에 변형률 항으로써 제공되었다. 이는 기준 좌표계 값으로 변환되었으며 쉘에서는 쉘 내 평균값으로 제공하였다. 육방정계는 압전 효과가 존재하므로 지배방정식은 전기 변위장과 결합시켜서 엄밀해를 구해내었다. 이를 통해 초기 긴장상태로 내력이 존재하는 양자점 코어/ 쉘의 압전탄성 거동과 변형률장을 관찰하였다. 코어/쉘 해석적 표현식의 검증을 위하여 유한요소 해석 결과와 비교하였다. 접촉 해석인 ‘억지끼워맞추기’ 대신에 고유변형률의 성질과 Eshelby’s Inclusion Problem에서 제시하는 4 단계의 사고실험을 기반으로 수행을 하였다. 열변형 률로 인한 압전탄성 거동을 포함하는 해석 결과는 열탄성 계수를 포함한 지배 방정식으로 압전 코어의 해석해를 구한 후 해석 결과로부터 후처리를 통해 크기 부정합에 의한 탄성장만을 구하였다. 이로써 부정합 모델에 대한 해석을 접촉 해석보다 간단한 정적 열해석으로 해결할 수 있었다. Misfitted Inclusion의 해석적 표현식들을 통해 나노 구조물 및 재료 설계에 핵심 인자를 제공하고 거동의 예측에 기여함으로써 공학적 문제 해결에 도움이 될 수 있을 것이다. 1 서론 11 1.1 연구 방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 이론적 배경 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Misfitted Inclusion Embedded in Infinite Matrix 15 2.1 Closed-Form 표현식을 위한 해석적 접근 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 경계 및 연속 조건(Boundary and Continuity Condtions) . . . . . . 18 2.1.2 응력 및 변형률에 대한 엄밀해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 응력 분포(Stress Distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Case I : 원거리에서 작용하는 기계적 응력, s ¥,를 받는 구형의 공동을 포함한 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Case II : 원거리에서 작용하는 기계적 응력, s ¥,를 받는 구형의 Inclusion을 포함한 Matrix(ΔT =d = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Case III : 정적 열하중, ΔT,를 받는 구형의 Inclusion을 포함한 Matrix(s ¥ =d = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Case IV : Infinite Matrix 내 부정합 상태, d ,에 놓인 Inclusion ( s ¥ = ΔT = 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5 Case V : 기계적 응력, s ¥, 와 열하중, ΔT, 가 가해지고 있는 부정합 상태, d ,에 놓인 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 변형률 분포(Strain Distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 에너지 해방률(Energy Relase Rates) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.1 Case I : 기계적 하중, s ¥, 와 정적 열하중, ΔT, 가 가해지는 Infinite Matrix 내 구형의 공동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.2 Case II : 기계적 응력, s ¥,를 받는 구형의 Inclusion(ΔT =d = 0) 47 2.4.3 Case III : 정적 열하중, ΔT,를 받는 구형의 Inclusion ( s ¥ =d = 0 ) 48 4 2.4.4 Case IV : Infinite Matrix 내 부정합 상태에 놓여있는 구형의 Inclusion(s ¥ = ΔT = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.5 Case V : s ¥ 와 ΔT 가 가해지는 구형의 Inclusion(d = 0) . . . . . 50 2.4.6 Case VI : s ¥ 가 주어진 Infinite Matrix 내부에 부정합 상태인 구형의 Inclusion(ΔT = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.7 Case VII : ΔT 를 받는 부정합 상태인 구형의 Inclusion(s ¥ = 0) . 53 2.4.8 Case VIII : s ¥ 와 ΔT 가 가해지고 있는 Infinite Matrix 내 부정합 상태인 구형으로 대칭형인 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 요약 및 결론 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Misfitted Inclusion Embedded in Finite Matrix 59 3.1 등축정계(Cubic) 및 육방정계(Hexagonal) 결정형의 일반해 . . . . . . . 59 3.2 양자점 코어/쉘(Quantum Dot Core/Shell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.1 양자점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2 양자점 코어/쉘의 Closed-Form 표현식을 위한 해석적 접근 . . . 64 3.2.3 양자점 코어/쉘의 탄성학적 모델링 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.4 등축정계(Cubic) 및 육방정계(Hexagonal) 결정형의 경계 조건 . 67 3.3 Zinc-Blende 결정형의 양자점 코어/쉘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1 Zinc-Blende 결정형의 양자점 코어/쉘의 엄밀해 . . . . . . . . . . 68 3.3.2 양자역학 계산을 위한 쉘에서의 평균 응력과 변형률 . . . . . . . 69 3.4 Wurtzite 결정형의 양자점 코어/쉘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 특이점 문제(Singularity Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6 요약 및 결론 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Verification of Closed-Form Solutions using Finite Element Analysis 77 4.1 Eshelby’s Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 유한요소 해석 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1 유한요소 해석 방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5 4.2.2 모델(Geometry) 및 요소(Element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 경계 조건(Boundary Condition) 및 물성(Property) . . . . . . . . . 87 4.2.4 하중 조건(Load Condition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 유한요소 해석 결과 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4 요약 및 결론 III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 결론 94 Appendices 97 A 엄밀해의 주요 유도 과정 및 정리 97 A.1 육방정계 결정질의 부정합 상태에 있는 구 대칭형의 코어/쉘의 엄밀해 97 A.2 양자 역학 계산을 위한 등축정계 엄밀해의 좌표 변환 . . . . . . . . . . 102 A.3 기계적 하중과 전기적 포텐셜을 받는 부정합 상태에 있는 구 대칭형의 압전 쉘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 List of Figures 1 Illustration of misfitted Inclusion with Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Representation of the boundary conditions on the surfaces of the Inclusion and the Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Schematic of linear superposition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Hoop stress variations along the radial direction for misfitted Inclusion embedded in aMatrix with various types of loadings when EI=EM =0:1;aI=aM = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Hoop stress variations along the radial direction for misfitted Inclusion embedded in a Matrix under s ¥ = 100 MPa, ΔT = 200◦C and misfit d = 0:2% of a for different EI=EM and aI=aM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 6 Hoop stress variations at the interface of misfitted Inclusion and infinite Matrix with various ratios of EI=EM for different aI=aM when s ¥ = 100 MPa, ΔT = 200◦C and misfit d = 0:2% of a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7 Strain variation in the case of misfitted Inclusion in a Matrix in radial direction when EI=EM = 0:1 and aI=aM = 10 for various types of loadings. . . . . . . 37 8 Strain variation in the case of misfitted Inclusion in a Matrix with R=a for different EI=EM and aI=aM when s ¥ = 100 MPa, ΔT = 200◦C and misfit d = 0:2% of a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9 Physical and material space with respect to ΔEi . . . . . . . . . . . . . . . . 41 10 Schematic of physical interpretation of the path of the J-, L- and M-Integrals . 41 11 Schematic representation of the path of the J-, L- and M-Integrals . . . . . . 43 12 Concept of the M-Integral in terms of the total energy change including the work done by the loading Mechanism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13 Concept of the M-Integral with respect to the direction of load including the work done by the loading Mechanism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 14 M-Integral M-Integral variation with far-field triaxial mechanical load, s ¥ for different ratios of EI=EM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15 M-Integral variation with uniform temperature load, ΔT, when far-field triaxial mechanical load, s ¥ =d = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 16 M-Integral variation with uniform temperature load, ΔT, for different EI=EM and aI=aM when far-field triaxial mechanical load, s ¥ = 100 MPa . . . . . 51 17 M-Integral variation with far-field triaxial mechanical load, s ¥, for different cases of misfit when EI=EM = 0:1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 18 M-Integral variation with uniform temperature load, ΔT, for different cases of misfit when EI=EM = 1 and aI=aM = 0:1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 19 M-Integral variation with uniform temperature load, ΔT, for different EI=EM and aI=aM when misfit, d = 0:2%of a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 20 M-Integral variation with uniform temperature load, ΔT, for different EI=EM and aI=aM when far-field triaxial mechanical load, s ¥ = 100 MPa and misfit, d = 0:2% of a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 21 Illustration of quantum dot core/shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 22 Elastic model of spherically symmetric misfitted Inclusion in finite Matrix which is equivalent to lattice-mismatched quantum dot core/shell. . . . . . . 61 23 The composition of nanomaterial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 24 The concept is light emitting and Exciton behavior. . . . . . . . . . . . . . . 63 25 Unit lattice under compression and tension, respectively . . . . . . . . . . . 65 26 Schematics of derivation on the Elastic model of Lattice mismatch . . . . . . 66 27 Elastic model for Lattice mismatched Quantum Dot Core/Shell . . . . . . . . 66 28 Illustration of radially orthotropic plane stress elastic model . . . . . . . . . . 72 29 Stress distribution with function of b in 3-D spherically symmetric Inclusion 75 30 Comparison of final internal stresses between thermally expanded solid and the other such as its final size. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 31 Elastic solid undergoing inelastic deformation with volume of Matrix,VM and Inclusion, VI composed of CM i jkl and CI i jkl , respectively. . . . . . . . . . . . . . 79 32 Misfitted inclusion problem based on the Eshelby’s Inclusion-Step 1. . . . . . 79 33 Misfitted inclusion problem based on the Eshelby’s Inclusion-Step 2. . . . . . 80 34 Misfitted inclusion problem based on the Eshelby’s Inclusion-Step 4. . . . . . 81 35 Misfitted inclusion problem based on the Eshelby’s Inclusion-Step 4. . . . . . 81 36 The principle of static thermal analysis simulating the mismatch effect in core/shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 37 The FEA model of lattice mismatched quantum dot core/shell. . . . . . . . . 86 38 Boundary conditions of axisymmetric core/shell elastic model. . . . . . . . . 87 39 Displament field variation of cubic crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8 40 Strain distribution of cubic crystalline with lattice mismatch strain, d =3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 41 Stress distribution of cubic crystalline with lattice mismatch strain, d =3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 42 Displament field variation of haxagonal crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 43 Stress distribution of haxagonal crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 44 Strain distribution of haxagonal crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 45 Electric potential field variation of haxagonal crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . 93 46 Electric field variation of haxagonal crystalline with lattice mismatch strain, d = 3:96% of the internal radius of shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 List of Tables 1 Continuity conditions with respect to each loadings . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Analytical solutions for constants A, B and C . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Material properties of Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Normalization factors with respect to loading conditions . . . . . . . . . . . 30 5 Interpretation of physical and material space with respect to ΔEi . . . . . . . 42 6 Determinants of M-Integral with repect to load condition parameter . . . . . 58 7 General solution based on crystalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8 Strain-, stress-, displacement-field in Matrix and Inclusion at Step 1. . . . . . 80 9 Strain-, stress-, displacement-field in Matrix and Inclusion at Step 2 and 3. . . 80 10 Material properties according to the crystalline . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11 Material properties according to the crystalline . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9 12 Analytical approaches for the cases of infinite/finite Matrix, respectively . . . 94 13 Boundary conditions for mechancal ans electric potential, respectively . . . . 106 kor The Graduate School, Ajou University 아주대학교 논문은 저작권에 의해 보호받습니다. 부정합 상태에 있는 구형으로 대칭형인 삽입물의 에너지 해방률 및 압전탄성 거동 So-Young Seo Thesis 아주대학교 일반대학원 So-Young Seo 일반대학원 기계공학과 2015. 2 Master http://dcoll.ajou.ac.kr:9080/dcollection/jsp/common/DcLoOrgPer.jsp?sItemId=000000019328 Inclusion Energy Release Rate Elastic behavior